Problema 464

ABC es un triángulo en el que BC= 2 AB. Sean D el punto medio de BC, y E el punto medio de BD. Demostrar que AD es la bisectriz del ángulo CAE.

Aref, M.N., Wernick,W. (1968): Problems &Solutions in Euclidean Geometry. Dover Publications, Inc, New York. (pag. 4)

Solución de Ricard Peiró:

. Entonces, el triángulo es isósceles.

Sea F el punto medio de .

La recta BF corta el lado en el punto M.

es bisectriz del ángulo B. Aplicando la propiedad de la bisectriz:

, .

Entonces:

.

Sea G la intersección de los segmentos , , baricentro del triángulo .

Por ser el triángulo isósceles, es perpendicular a .

Los triángulos , son rectángulos.

Dos triángulos que tienen la misma altura las áreas son proporcionales a las bases.

Sea S el área del triángulo . Sea T el área del triángulo .

Los triángulos , tienen la misma altura, entonces:

, entonces, .

Los triángulos , tienen la misma altura, entonces:

, entonces, .

Los triángulos tienen la misma altura, entonces:

, entonces, .

Los triángulos tienen la misma altura, entonces:

, entonces, .

Las áreas de los triángulos son iguales, entonces:

, entonces:

.

Entonces, los triángulos rectángulos , son iguales.

Entonces, , es bisectriz del triángulo isósceles .

Por tanto, es la bisectriz del ángulo .

Solución con Cabri:

Figura barroso464.fig

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