Problema 464.- ABC es un triángulo en el que . Sea D el punto medio de BC y E el punto medio de BD. Demostrar que AD es la bisectriz del ángulo CAE.

Aref, M.V. Wernick, W (1968). Problems and Solutions in Euclidian Geometry. Dover Publications, Inc, New York (pág. 4).

 

 

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva)

 

            Utilizaremos la notación habitual en la geometría del triángulo y resolveremos el problema mediante tres métodos diferentes.

 

1º Método:      En virtud del teorema de Stewart aplicado al triángulo ABC con ceviana AE tenemos que

                                  

 

y después de simplificar y teniendo en cuenta que , entonces queda

 

                                  

 

            Finalmente, como se tiene que

 

                                y         

 

se deduce (mediante un sencillo argumento por reducción al absurdo que involucra el teorema de las bisectrices interiores) que AD es la bisectriz interior del ángulo en el triángulo CAE.

 

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2º Método:      Es claro que según la construcción en el problema, AD es la mediana del triángulo ABC que parte del vértice A. Es bien sabido que la mediana en función de los lados está dada por (teorema de Apolunio)

 

                                              

 

y como, la expresión anterior se reduce a

 

                       

 

            Por otra parte, AE es la mediana del triángulo ABD que parte de A y en consecuencia, conociendo la anterior expresión para AD, y como, tenemos que 

 

                       

 

            Sea ahora . Aplicando el teorema de los cosenos al triángulo DAC tenemos que

           

Sea . Aplicando el teorema de los cosenos al triángulo EAD y teniendo en cuenta que , tenemos que

 

y en consecuencia está claro que  y AD es la bisectriz interior del ángulo  en el triángulo CAE.

 

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3º Método:      Recurrimos ahora a la geometría de coordenadas. Sin pérdida de generalidad supondremos que ,  y . Claramente tenemos que  y . Además, como , el vector AB (de módulo 1) será

 

  con la relación  ,         [1]

 

            Determinemos las ecuaciones de las rectas AC y AE y después la ecuación de la recta bisectriz interior AD.

 

           

 

           

 

            Por otra parte, sabemos que las ecuaciones de las rectas bisectrices  y  (que son perpendiculares entre sí) de las rectas  y  analíticamente vienen dadas por

                     

 

            Podemos observar que la bisectriz  pasa por el origen de coordenadas puesto que claramente se tiene que, utilizando [1]:

 

           

 

y en consecuencia la recta bisectriz  del ángulo  pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto D, y esto demuestra lo que queríamos.

 

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