Problema 470. De investigación. Propuesto por Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva

Dados los radios r_a, r_b, r_c de las circunferencias exinscritas al triángulo ABC, determinar las longitudes de los lados a, b ,c del mismo en función exclusivamente de los radios anteriores.

Vicario, V. (2008): Comunicación personal

Solución de José María Pedret, Ingeniero Naval. Esplugues de Llobregat (Barcelona). (1 de junio de 2008)

Solución

A partir del punto 7.2 del extra nº 400 “Utiles simples para la resolución de problemas de triángulos” tenemos que

Yeliminando las raíces cuadradas obtenemos

Y expresando en función de c

Que nos da

Y de la ecuación de r_c sustituyendo p y los valores de a y b recién obtenidos

De donde simplificando de forma sencilla obtenemos

Que nos proporciona por simetría las tres expresiones pedidas