Problema 470

Donats els radis de les circumferències exinscrites al triangle , determineu les longituds dels costats a, b, c del mateix en funció dels radis anteriors.

Solució de Ricard Peiró:

La relació entre els radis de les circumferències exinscrites al triangle i el radi de la circumferència inscrita al triangle és:

, , . Aleshores:

Per tant:

. Sumant dos a dos:

. Simplificant:

(1)

Aleshores, el triangle que cerquem és proporcional al triangle de costats , , .

Per tant, per dibuixar-lo amb regle i compàs, dibuixarem el triangle de costats , , , sobre aquest dibuixarem un dels cercles circumscrit i traçarem paral·leles que tinga radi com de la circumscrita com el inicial corresponent.

Vegem la mesura dels costats del triangle:

(2)

Sumant les expressions (1):

,

aleshores, (3)

,

aleshores, (4)

Substituint en l’expressió (2) les expressions (3) (4):

. Simplificant: .

Anàlogament, , .

Amb Cabri:

Figura barroso470.fig

Applet created on 2/06/08 by Ricard Peiró with CabriJava