Problema 470

Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva

Dados los radios de las circunferencias exinscritas al triángulo ABC, determinar las longitudes de los lados a, b ,c del mismo en función exclusivamente de los radios anteriores.

Vicario, V. (2008): Comunicación personal

Solución de Ricard Peiró:

La relación entre los radios de las circunferencias exinscritas al triángulo yel radio de la circunferencia inscrita al triángulo es:

, , . Entonces:

Por tanto:

. Sumandos dos a dos:

. Simplificando:

(1)

Entonces, el triángulo que buscamos es proporcional al triángulo de lados , , .

Por tanto, para dibujarlo con regla y compás, dibujaremos el triángulo de lados , , , sobre este dibujaremos uno de los círculos circunscritos y trazaremos paralelas que tenga radio como el de la circunscrita inicial correspondiente.

Veamos cuanto miden los lados del triángulo:

(2)

Sumando las expresiones (1):

,

entonces, (3)

,

entonces, (4)

Substituyendo en la expresión (2) las expresiones (3) (4):

. Simplificando: .

Análogamente, , .

Con Cabri:

Figura barroso470.fig

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