Problema 470

Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva

Dados los radios ,,de las circunferencias excritas al triángulo ABC, determinar las longitudes de los lados a, b ,c del mismo en función exclusivamente de los radios anteriores.

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Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva)

Utilizaremos la notación habitual en la geometría del triángulo y las relaciones clásicas para el área de un triángulo

Necesitamos cuatro lemas que exponemos y demostramos a continuación.

Lema 1: “En todo triángulo ABC se cumple ”.

Demostración:

.

donde hemos empleado la fórmula de Herón y la fórmula para el área del triángulo, además de la conocida relación .■

Lema 2: “En todo triángulo se cumple que ”.

Demostración: Observemos que se cumple

■

Lema 3: “En todo triángulo se cumple que ”.

Demostración: Veamos que ya que aplicando la fórmula de Herón

■

Lema 4: “En todo triángulo se cumple que ”.

Demostración: Basta con observar las relaciones

■

Centrándonos en nuestro problema observamos que se tienen las relaciones

[1]

Por tanto, las longitudes de los lados a, b, c del triángulo ABC son las raíces reales de la siguiente ecuación cúbica

[2]

Es conocido que tales raíces se pueden expresar en función de radicales que involucran a sus coeficientes. Finalmente, basta expresar r, R y s como funciones exclusivas de . A tal efecto observemos que según los lemas 2, 3 y 4 tenemos

[3]

[4]

[5]

Sustituyendo en la ecuación [2] las expresiones , y de las relaciones [3], [4], [5], obtenemos una ecuación algebraica cúbica cuyas raíces reales son las longitudes de los lados del triángulo pedido y cuyos coeficientes están expresados racionalmente como funciones exclusivas de los radios escritos.