Problema 472:

Si p, R, r són el semiperímetre, el radi del cercle circumscrit, el radi del cercle inscrit, respectivament a un triangle, aleshores és verifica:

.

Laisant, C.A. (1896) Geometrie du Triangle, Gauthier -  Villars, Paris, p. 128, cuestión 436

Solució de Ricard Peiró:

Siga el triangle , la seua superfície és .

Aleshores, , , .

Nota 1: . La igualtat s’assoleix quan el triangle és equilàter.

Nota 2: . La igualtat s’assoleix quan el triangle és equilàter.

. Simplificant:

. Aplicant la nota 1:

. Simplificant:

. Aplicant la nota 2:

. Simplificant:

, la igualtat s’assoleix quan el triangle és equilàter.

Nota 1: . La igualtat s’assoleix quan el triangle és equilàter.

. La igualtat s’assoleix si .

Aleshores:

. . .

Multiplicant les desigualtats:

. Simplificant:

(1)

. La igualtat s’assoleix quan .

Nota 2: . La igualtat s’assoleix quan el triangle és equilàter.

, , .

Aplicant les desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica:

.

.

igualtat s’assoleix quan , és a dir, quan .