Problema 472:

Si p, R, r, son el semiperímetro, el radio del círculo circunscrito, el radio del círculo inscrito, respectivamente a un triángulo, entonces se verifica:

.

Laisant, C.A. (1896) Geometrie du Triángulo, Gauthier -  Villars, Paris, p. 128, cuestión 436

Solución de Ricard Peiró:

Sea el triángulo , la superficie es .

Entonces, , , .

Nota 1: . La igualdad se alcanza cuando el triángulo es equilátero.

Nota 2: . La igualdad se alcanza cuando el triángulo es equilátero.

. Simplificando:

. Aplicando la nota 1:

. Simplificando:

. Aplicando la nota 2:

. Simplificando:

, la igualdad se alcanza cuando el triángulo es equilátero.

Nota 1: . La igualdad se alcanza cuando el triángulo es equilátero.

. La igualdad s’assoleix si .

Entonces:

. . .

Multiplicant les desigualdads:

. Simplificando:

(1)

. La igualdad se alcanza cuando .

Nota 2: . La igualdad se alcanza cuando el triángulo és equilátero.

, , .

Aplicando les desigualdad entre las medianas aritmética y geométrica:

.

.

La igualdad se alcanza cuando , és a dir, quan .