Problema 472.- (Propuesto por J. B. Romero Márquez,
profesor colaborador de
Si p, R, r son el semiperímetro, el radio de la circunferencia circunscrita y el radio de la circunferencia inscrita, respectivamente a un triángulo, demostrar que se verifica:
Laisant, C.A. (1896). Geometrie du Triangle, Gauthiers-Villars, París, p.128, cuestión 436.
Solución de Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva (2 de julio de 2008)
Resolución: Utilizaremos la
notación habitual en la geometría del triángulo, y en consecuencia, emplearemos s para el semiperímetro. Partiremos
de la conocidísima desigualdad de Euler 
, y de una de las famosas desigualdades de Gerretsen 
. La primera, resulta de la desigualdad 
para el cuadrado de la
distancia entre el circuncentro y el incentro de un triángulo, y la segunda, se
puede obtener de los resultados que aparecen en mi artículo del extra 400 de
esta revista y es la consecuencia de la desigualdad para el cuadrado de la
distancia entre el baricentro y el incentro 
. Observemos que la determinación de GI es sencilla una vez que son conocidas las de OH, OI, IH aplicando el teorema de Stewart a
la ceviana GI, y teniendo en cuenta
que 
.
Según esta desigualdad de Gerretsen, tenemos que
que podemos poner en la forma
y como según la desigualdad de Euler , la última desigualdad prueba que
Además nos indica que la igualdad es cierta si y sólo si 
, es decir, el triángulo es equilátero.