Problema 474

Es pot col·locar un triangle equilàter de costat 4cm en un quadrat de costat 3cm?.

Pogorélov, A. V. Geometría elemental. Editorial Mir. Moscou. 1974. Pàg. 119. Problema 8.

Solucions de Ricard Peiró.

Solució 1:

Siga el quadrat ABCD de costat 3cm.

Considerem els punts E, F dels costats , , respectivament, tal que .

Siga . Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle :

.

.

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle :

.

.

Considerem el triangle isòsceles . En tot triangle a costat menor li correspon angle oposat menor.

Aleshores l’angle .

Aleshores no és pot col·locar el triangle equilàter dins del quadrat.

Solució 2:

Siga el quadrat ABCD de costat 3cm.

Siga un triangle equilàter de costat 4cm.

La circumferència circumscrita al quadrat té radi .

El radi de la circumferència circumscrita al triangle .

.

Situant el centre del triangle equilàter dins del quadrat sempre hi haurà almenys un vèrtex fora del quadrat.