Problema 474

¿Puede colocarse un triángulo regular de lado 4cm en un cuadrado de lado 3cm?.

Pogorélov, A. V. Geometría elemental. Editorial Mir. Moscou. 1974. Pàg. 119. Problema 8.

Soluciones de Ricard Peiró

Solución 1:

Sea el cuadrado ABCD de lado 3cm.

Consideremos los puntos E, F de los lados , , respectivamente, tal que .

Sea . Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo :

.

.

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo :

.

.

Consideremos el triángulo isósceles . En todo triángulo a lado menor le corresponde ángulo opuesto menor.

Entonces el ángulo .

Entonces no se puede colocar el triángulo equilátero dentro del cuadrado.

Solución 2:

Sea el cuadrado ABCD de lado 3cm.

Sea un triángulo equilátero de lado 4cm.

La circunferencia circunscrita al cuadrado tiene radio .

El radio de la circunferencia circunscrita al triángulo es .

.

Situando el centro del triángulo equilátero dentro del cuadrado siempre habrá al menos un vértice fuera del cuadrado.