Problema 474.- (Propuesto por Ricard Peiró i Estruch, I.E.S. Abastos, Valencia)

¿Puede colocarse un triángulo regular de lado 4 cm. en un cuadrado de lado 3 cm.?

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva)

            Asumiremos que en el enunciado del problema triángulo regular se refiere, evidentemente, a triángulo equilátero, y “colocarse” en un cuadrado se refiere a que los vértices de dicho triángulo equilátero están ubicados en la frontera del cuadrado dado.

            Es bien conocido (véase, por ejemplo, Equilateral triangle, Wolfram Mathworld) que el triángulo equilátero de mayor área que se puede inscribir en un cuadrado es aquel que tiene uno de sus vértices coincidente con uno de los vértices del cuadrado y los otros dos en los puntos de corte de las semirrectas que parten de este vértice común con los otros lados y formando 15º con cada lado contiguo. La demostración es sencilla y consiste en probar (utilizando el teorema de Pitágoras junto con trigonometría elemental) que el tercer lado del triángulo así construido, mide igual que los otros dos lados. Un sencillo cálculo trigonométrico proporciona:

            Sea 3 cm. el lado del cuadrado dado, y sea x la longitud del lado del mayor triángulo equilátero que se puede inscribir en este cuadrado. Entonces, se tiene que

           

por lo que es imposible la inscripción de un triángulo equilátero de lado 4 cm. en un cuadrado de lado 3 cm.

Nota: En la ya comentada web de Wolfram Mathworld se puede ver que el triángulo equilátero de menor área que se puede inscribir en un cuadrado de lado unidad, tiene también lado unidad. Por otra parte, acabamos de demostrar que el triángulo equilátero de mayor área que se puede inscribir en un cuadrado de lado unidad tiene como lado . Mediante un sencillo argumento sobre continuidad de funciones de una variable real, es sencillo demostrar que podemos inscribir triángulos equiláteros en cuadrados de lado unidad con longitudes de su lado entre la gama de valores límites anteriormente comentados.