Solución de Francisco Javier García Capitán
Usaremos Mathematica y coordenadas baricéntricas para resolver este problema, el que Jose María Pedret nos presenta la cúbica de Darboux.. En realidad, y como hemos hecho en otras ocasiones, lo que intentamos es, más que resolver el problema, es mostrar cómo usar las coordenadas baricéntricas, el programa Mathematica, y el paquete Baricentricas.nb para responder a cuestiones como las planteadas aquí.
En primer lugar, iniciamos una sesión de Mathematica y cargamos el paquete Baricentricas.nb.
1.
Caracterizar el lugar S como una curva algebraica
de orden n y determinar n.
4. Hallar una ecuación del lugar.
Para responder a estos apartados calculamos directamente la ecuación
del lugar comprobando que se trata de una cúbica.
2. Demostrar que el lugar S tiene al circuncentro O como centro de simetría.
Hallamos el valor resultante de sustituir en la ecuación del lugar el simétrico de un punto cualquiera P. Obtenemos, aparte de algunos factores no nulos, la misma ecuación, lo cual indica que si P está sobre el lugar S, también lo estará su simétrico respecto de O.
3. Demostrar que los vértices del triángulo A, B, C, el incentro I, los ex-incentros Ia, Ib, Ic, el circuncentro O y el ortocentro H pertenecen al lugar S.
Basta sustituir la ecuación por las coordenadas de cada uno de los puntos. Usamos la función Map de Mathematica para hacer todas las sustitutuciones con una única instrucción:
5. Demostrar que si P es un punto del lugar S, entonces Pi el conjugado isogonal de P también es de la curva.
De forma parecida al apartado 2, sustituimos en la ecuación de la curva las coordeandas del conjugado isogonal de un punto cualquiera P, obteniendo, al factorizar, la misma ecuación de la curva como uno de los factores, lo cual demuestra el enunciado.
6. Demostrar que si P es un punto del lugar S, todas las rectas PPi pasan por un punto fijo, que se determinará.
Supongamos cierto el enunciado y llamemos X al punto fijo mencionado en él. Si P, Pi y X están alineados se anulará la expresión:
Comparamos los coeficientes de esta expresión y la de nuestro lugar.
Imponemos que los coeficientes obtenidos son proporcionales, lo cual nos da un punto L con unas coordenadas concretas:
Buscamos este punto en la enciclopedia de Clark Kimberling:
Al buscarlo vemos que es el punto de Longchamps, X20 en la enciclopedia. Este punto es el simétrico del ortocentro H respecto del circuncentro O, como podemos comprobar con la instrucción:
7. ¿Cómo cambia el lugar S en el caso de que ABC sea un triángulo isósceles?
Supongamos por ejemplo que b=c. la ecuación del lugar queda en la forma
Vemos que quedan dos factores. El factor y-z corresponde a la mediana (en este caso también mediatriz) correspondiente al vértice A. El segundo factor es de segundo grado, una cónica que pasa como hemos visto por los vértices B y C, por los excentros Ia, Ib. Como el lugar es simétrico respecto de O, los simétricos de estos puntos también estarán en la cónica.
Para obtener una figura con Mathematica hacemos:
Finalmente, si la el triángulo es equilátero, es claro que esta cónica se dividirá en dos mediatrices, quedando el lugar formado por las tres mediatrices.
