Problema 478 de triánguloscabri |
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Sea ABC un triángulo donde el mayor de sus ángulos no supera 120º y sea D el área del mismo. (a) Hallar el valor mínimo, exclusivamente en función de los lados a, b, c del triángulo, de la suma , siendo P un punto interior al mismo. (b) Demostrar la desigualdad |
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Propuesto por Vicente Vicario García.
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Solución de Francisco Javier García Capitán (a) Supondremos conocido que el punto al que se refiere este apartado es el punto de Fermat del triángulo ABC. Veamos que Si construimos triángulos equiláteros BCX, CAY, ABZ sobre los lados BC, CA, AB del triángulo ABC. Veamos que:
En efecto, observemos (Figura 1) que el triángulo ABY es el resultado de aplicar al triángulo AZC un giro con centro A y ángulo 60º. Entonces es BY = CZ. Por simetría tendremos también AX = BY.
Además, si F es el punto de intersección de BY y CZ (Figura 2), tendremos entonces ÐBFZ = ÐCFY = 60º, por lo que, por un lado ÐBFZ = ÐBAZ, es decir, el cuadrilátero AFBZ es cíclico. Por la misma razón lo es el cuadrilátero AFCY. Ahora, por ser ÐBFC = 120º, el cuadrilátro FBXC también es cíclico. En resumen F es el punto común a las circunferencias BXC, CYA y AZB. Si este punto está definido como intersección de BY y CZ, también debe estar sobre la recta AX. A este punto F se le llama punto de Fermat del triángulo ABC. |
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| Ahora, si P es un punto cualquiera cumpliendo el enunciado de nuestro problema, si P' es el resultado de girar el punto P alrededor de B un ángulo de 60º, tendremos que AP + BP + CP = AP + PP' + P'X y esta igualdad siempre será mayor que AX cuando P no esté sobre la recta AX. Si queremos que la suma de distancias AP + BP + CP sea mínima, P debe estar sobre la recta AX (Figura 3). Por simetría, también debe estar sobre las rectas BY y CZ, es decir P debe ser el punto de Fermat F del triángulo ABC. Observemos que este razonamiento no es correcto si uno de los ángulos del triángulo ABC es mayor o igual que 120º, en el que el mínimo para la suma de distancias AP + BP + CP se produce cuando el valor cuando P es el vértice correspondiente a ese ángulo. | ||||
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Del razonamiento anterior deducimos que cuando AF + BF + CF= AX ( = BY = BZ). Hallemos la distancia AX en función de los lados a, b y c y del área D del triángulo. Sin pérdida de generalidad podemos suponer
Entonces podemos obtener una expresión para AX:
(b) Teniendo en cuenta la desigualdad de Weitzenböck,
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