Problema 2. (Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva).

Sea ABC un triángulo donde el mayor de sus ángulos no supera 120º y sea  el área del mismo.

(a)   Hallar el valor mínimo, exclusivamente en función de los lados a, b, c del triángulo, de la suma , siendo P un punto interior al mismo.

(b)   Demostrar la desigualdad .

 

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva)

 

(a)       Utilizaremos la notación habitual en la geometría del triángulo. Consideremos el triángulo ABC y los triángulos equiláteros exteriores BCA´, ACB´, ABC´ erigidos sobre los lados del mismo. Es bien conocido que las longitudes AA´, BB´ y CC´ tienen la misma longitud y además representan la longitud mínima que buscamos. Además el punto de corte de las rectas AA´, BB´ y CC´ es el punto de Fermat del triángulo, que, puesto que por hipótesis, el mayor de los ángulos del triángulo no supera a 120º, estará situado en el interior del mismo y abarcando arcos de 120º con cada uno de los lados del triángulo.

 

           Determinemos la longitud mínima, a partir, por ejemplo, de BB´, en función exclusiva de los lados del triángulo. Para ello utilizaremos el teorema de los cosenos aplicado al triángulo BCB´, y expresiones clásicas para el área del triángulo, junto con propiedades y razones trigonométricas elementales, teniéndose que

              [1]

 

donde  es el área del triángulo. Finalmente, utilizando la fórmula de Herón para el área del triángulo, que podemos expresar en la forma

          

y sustituyendo en la expresión [1] y simplificando después, tenemos que

          

(b)      Para demostrar la desigualdad pedida basta con observar la expresión [1] anterior y utilizar la conocida desigualdad de Weitzenböck

 

                                             

 

obteniéndose entonces que

 

          

 

Nota: Podemos observar que si en lugar de la desigualdad de Weitzenböck usamos la más refinada desigualdad de Finsler-Hadwiger

 

                                 

 

obtendríamos una desigualdad obviamente más precisa que la anterior

          

           Otras estimaciones, no tan precisas, se pueden obtener a partir de la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica de términos positivos.

                                             

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