Problema 483

Algunas relaciones en un triángulo rectángulo

En el triángulo rectángulo ABC (con el ángulo recto en C), se traza CD perpendicular a AB, y también CE, CF, BM y AN, bisectrices de los ángulos ACD, BCD, ABC y CAB respectivamente.

Demostrar que:

a)     La bisectriz del ángulo B es perpendicular a CE, y la bisectriz del ángulo A es perpendicular a CF. Además, CE es bisecado por la bisectriz del ángulo B (en un punto a), y CF es bisecado por la bisectriz del ángulo A (en un punto b), y consecuentemente ab es paralela a AB e igual a ½ EF.

b)      Las bisectrices CF y CE cortan a la hipotenusa AB en segmentos AF y BE que son iguales a los lados AC y BC respectivamente.

c)     El inradio de ABC es 1/2EF=ab.

d)      c y d son los incentros de ADC y BDC. r=cd/sqr(2), es decir, r es el lado del cusdrado cuya diagonal es cd.  

e)      La recta de los incentros de los triángulos ADC y BDC es perpendicular a la bisectriz de C, es decir, cd es perpendicular a CG.

f)       c y d equidistan de la proyección del incentro de ABC a AB

g)      Todas las proposiciones anteriores son lógicamente equivalentes

h)      ¿Cualquiera de ellas caracterizan de forman unívoca a los triángulos rectángulos?. Esto es, en cualquier otro triangulo no rectángulo se tendrán que  las igualdades dadas aquí, se convertirán en una desigualdad para un lado u otro según el tipo de triángulo que estemos considerando : acutángulo u obtusángulo

Babbit, A. (1918), American Mathematical Monthly, pp. 347-348

Los apartados g) y h) son del profesor Juan Bosco Romero.