Problema 483

[1]Si los puntos que dividen cada lado de un triángulo en tres partes iguales se unen al correspondiente vértice opuesto, se forma un hexágono cuya área es la décima parte del área del triángulo.

Cuoco, A. Goldenberg, P.and Mark, J.(1993). Reader Reflections. Marion´s Theorem. The Matematics Teacher, 86(8). Kennedy response.(p. 619)

[Desde Febrero de 1992 a Mayo de 1996 hubo 9 comentarios en la revista acerca del teorema]

Teorema de Marion

La cubierta de Febrero de 1992 de Mathematics Teacher mostraba que si las terceras partes de los lados de un triángulo equilátero se unían a los vértices opuestos, el triángulo central tenía de área la séptima parte del área del triángulo original. En una carta en Marzo de 1993, Joe Kennedy señalaba que tal restricción a un triángulo equilátero no era necesaria [ver problema 22 de este trianguloscabri].

Alrededor de hace un año, Marion Walter y yo descubrimos el teorema dado, con el programa Geometer´s Sketchpad descubrió el siguiente resultado, llamado Teorema de Marión en su honor:

El resultado puede ser demostrado por medios euclídeos, pero otro método de demostración es demostrarlo en un caso especial, el equilátero, y aplicar una transformación lineal que preserva las razones y las áreas hacia cualquier triángulo. Cuoco, A. Goldenberg, P.and Mark, J.

Kennedy responde: Este resultado me resulta agradable y sorprendente. Es hermoso y yo creo que el descubrirlo utilizando tecnología es una manera apropiada. Cuoco, Goldenberg, and Mark, dicen que lo han demostrado usando métodos ordinarios pero no lo he visto ni he hecho intentos.

Mis precipitadas miradas al teorema de Marion me llevan a algunas cuestiones. [2] Primero, tres diagonales son segmentos de las medianas originales.

[3]Segundo, el hexágono da lugar a dos triángulos de lados paralelos al original...

Nota del director: Se observan tres problemas derivados... [1], [2] y [3]