Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez

Problema 503

ABC un triángulo acutángulo, y AHa, la altura desde A a BC.(Similares construcciones se harían para los vértices B y C).

Sean los puntos Ba y Ca, tomados desde C y B interiormente sobre los lados AC y AB,

respectivamente, tales que CHa=CBa, y BHa=BCa.

Construimos los puntos Da y Ea, sobre BC, tales que los triángulos CBaDa, y BCaEa

sean rectángulos en Ba y Ca, respectivamente.

Si definimos los puntos Fa=BaDa y AB, y  Ga= CaEa y AC, y similares puntos para los otros vértices B y C.

Probar que :

a) BaDa=CaEa=AHa (vértice A) ; CbEb=AbDb=BHb (vértice B); AcEc=BcDc=CHc (vértice C).

b) Triángulos ABaCa y AFaGa, son semejantes, y hallar los elementos de la semejanza.

c) Si OaPaQa es el triángulos formado por Oa=BaDa y CaEa, Pa=BaDa y AHa, Qa=CaEa y AHa, es semejante al triángulo ABC.

d) Los puntos Oa=BaDa y CaEa, similar para Ob, y Oc, son los ortocentros de cada uno de los triángulos AFaGa, BFbGb y CFcGc, respectivamente.

e) ¿ Qué relación geométrica tiene el triángulo OaObOc con el triángulo ABC?.Es decir, ¿son semejantes?

Romero, J.B. (2009): Comunicación personal.