Problema 481 de triánguloscabri

Sea un triángulo ABC de ángulos ÐBAC= 20º, ÐABC=120º. Sea D un punto interior tal que ÐBDC=50º, ÐBAD=10º. Hallar ÐABD.

Propuesto por William Rodríguez Chamache.

Solución de Francisco Javier García Capitán

Construcción de la figura

Para construir la figura tenemos en cuenta que la recta AD es la bisectriz del ángulo A del triángulo ABC, por lo que, fijados los vértices B y C, basta trazar los arcos capaces del segmento BC para los ángulos 20º y 50º, con centros F y E, respectivamente. Entonces, el vértice A estará sobre el primero de estos arcos, y sobre la semirrecta que parte de B y forma un ángulo de 120º con BC. La bisectriz de este ángulo A encuentra al arco capaz de 50º en el punto D.

Observamos que ÐECB = 40º, ya que EBC es isósceles y ÐBEC = 100º. También es ÐACB = 180º-120º-20º = 40º. Por tanto, A, E y C están alineados.

Solución del problema

Usando, con la notación de la figura, el teorema de los senos con los triángulos ABD, ACD y DBC tenemos:

$\frac{c} {\operatorname{sen}{ 10^\circ}}=\frac{d} {\operatorname{sen}{x}}, \quad \frac{b} {\operatorname{sen}{ 10^\circ}}=\frac{d} {\operatorname{sen}{(30^\circ-x)}}, \quad \frac{c} {\operatorname{sen}{ (10^\circ+x)}}=\frac{b} {\operatorname{sen}{(120^\circ-x)}}.$

Eliminando las incógnitas b, c y d, obtenemos la ecuación:

$\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{sen} (x + 10^\circ) = \operatorname{sen} (30^\circ - x)\operatorname{sen} (120^\circ - x),$

Ahora transformando los productos en sumas resulta

$\begin{aligned} & \cos 10^\circ - \cos (2x + 10^\circ) = \cos 90^\circ - \cos (150^\circ - 2x) \\ \Rightarrow \cos 10^\circ = & \cos (2x + 10^\circ) - \cos (150^\circ - 2x) \\ = & \cos (2x + 10^\circ) + \cos (2x + 30^\circ) \\ = & 2\cos (2x + 20^\circ)\cos 10^\circ. \\ \end{aligned}$

Y de aquí podemos despejar x:

$\cos (2x + 20^\circ) = \frac{1} {2} \Rightarrow 2x + 20^\circ = 60^\circ = \boxed{x = 20^\circ}.$