Demostrar que a partir de la fórmula (teorema) de Herón para el área de un triángulo se pueden deducir como corolarios el teorema de Pitágoras y su recíproco.
Nota: Existen demostraciones geométricas del teorema de Herón que no recurren en su demostración, ni al teorema de Pitágoras, ni a su teorema recíproco. Tales son, por ejemplo, la propia demostración de Herón de la proposición I.8 de su Metrica o la demostración de Euler en su artículo Variae demonstrationes geometricae de 1767. Por tanto, no se produce ningún círculo vicioso en este razonamiento. No son válidas en este sentido las demostraciones trigonométricas de la fórmula de Herón que llevan implícita en su trigonometría la relación pitagórica fundamental.
Fórmula de Herón. En un triángulo ABC
con lados a, b y c, y semiperímetro s,
el área S es igual a 
Área de un triángulo rectángulo. El triángulo ABC tiene su ángulo A recto si y solo si su área es la mitad de bc. En efecto, el área es la mitad del producto bh, siendo h la longitud de la altura trazada por B. Es evidente que el ángulo A será recto si y solo si h = c.
Teorema de Pitágoras (suponiendo que
la fórmula de Herón es cierta). El ángulo
A es recto si y solo si 
Demostración.
