Demostreu que a partir de la fórmula d’Heró per a l’àrea d’un triangle es pot deduir com corol·laris el teorema de Pitàgores i el seu recíproc.

Solució de Ricard Peiró.

Demostració Teorema Pitàgores:

Siga el triangle rectangle , .

La fórmula d’Heró és , on .

En un triangle rectangle , on r és el radi de la circumferència inscrita.

En qualsevol triangle la seua àrea és .

En un triangle rectangle la seua àrea és .

. Elevant al quadrat.

.

.

. Simplificant:

.

Demostració Teorema recíproc de Pitàgores:

En qualsevol triangle .

Suposem que en el triangle . Volem demostrar que el triangle és rectangle.

En qualsevol triangle la seua àrea és .

. Simplificant:

. Elevant al quadrat:

.

. Simplificant:

. Aplicant la fórmula trigonomètrica de l’angle doble:

.

, .

. Aleshores, , per tant el triangle és rectangle.