Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva

Problema 482

Demostrar que a partir de la fórmula (teorema) de Herón para el área de un triángulo se pueden deducir como corolarios el teorema de Pitágoras y su recíproco.

Nota: Existen demostraciones geométricas del teorema de Herón que no recurren en su demostración, ni al teorema de Pitágoras, ni a su teorema recíproco. Tales son, por ejemplo, la propia demostración de Herón de la proposición I.8 de su Metrica o la demostración de Euler en su artículo Variae demonstrationes geometricae de 1767. Por tanto, no se produce ningún círculo vicioso en este razonamiento. No son válidas en este sentido las demostraciones trigonométricas de la fórmula de Herón que llevan implícita en su trigonometría la relación pitagórica fundamental.

Vicario, V. (2008): Comunicación personal

Solución.-

Sean a ≥ b ≥ c los lados del triángulo, S su área y p el semiperímetro. La fórmula de Herón establece que S² = p·(p- a)·(p- b)·(p- c).

Expresamos p en función de los lados, quitamos denominadores y desarrollamos tomando a como “variable”. Nos queda

16·S² = (a + b + c)·(-a + b + c)·(a - b + c)·(a + b - c)

16·S² = (1)

Supongamos que se verifica el teorema de Pitágoras, es decir, que a² = b² + c². Sustituyendo en (1) resulta

16·S² = - (-2bc)·(2bc)=4b².c²

o bien

2·S = b·c (2)

que significa que los lados menores del triángulo, b y c son base y altura del mismo, es decir, que el triángulo es rectángulo.

Recíprocamente, si el triángulo es rectángulo, desarrollando (1) en función de a

16·S² + = 0

y utilizando la expresión (2) para el área del triángulo, se tiene

+4b²·c² = 0

y simplificando

(3)

Y esta última expresión es el teorema de Pitágoras al que queríamos llegar. c.q.d.