Problema 485.- (Propuesto por el Editor, Ricardo Barroso Campos, Universidad de Sevilla)

[1] Si los puntos que dividen cada lado de un triángulo en tres partes iguales se unen al correspondiente vértice opuesto, se forma un hexágono cuya área es la décima parte del área del triángulo

[2] Tres diagonales del hexágono son segmentos de las medianas originales

[3] El hexágono da lugar a dos triángulos de lados paralelos al original

Cuoco, A. Goldenberg, P.and Mark, J.(1993). Reader Reflections. Marion´s Theorem. The Matematics Teacher, 86(8). Kennedy response.(p. 619)

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva)

Utilizaremos la notación habitual en la geometría del triángulo. Denominaremos trimedianas a las rectas de nuestro problema (por analogía con las trisectrices que aparecen en el famosos teorema de Morley). Denotaremos por A´ y A´´ a los pies de las trimedianas trazadas desde el vértice A, con A´ más cerca del vértice B. Análogamente serán B´ y B´´, con B´ más cerca de C y C´ y C´´ con C´ más cerca del vértice A. Además denotaremos al punto medio del lado BC.

Demostraremos primero que tres diagonales del hexágono son segmentos de las medianas originales. Sea el punto de corte de la mediana que parte del vértice A y de la trimediana CC´ que parte del vértice C. Aplicando el teorema de Ceva, demostraremos entonces que el segmento debe ser una de las trimedianas trazadas desde el vértice B. En efecto, aplicando el citado teorema, y denotando por el pie de la ceviana sobre el lado AC, con , tenemos que

lo que demuestra que el vértice del hexágono pertenece a la mediana que parte del vértice A. De forma análoga se demuestra que el otro extremo de esta diagonal también pertenece a la misma mediana. En consecuencia, estas tres diagonales se cortan en el mismo punto, que coincide con el baricentro G del triángulo original.

Demostraremos ahora, a partir del conocido teorema sobre cevianas concurrentes de Von Aubel, que y que . La demostración es sencilla ya que ( es el punto medio del lado BC):

con lo que el punto es el punto medio de la mediana que parte de A. Entonces es claro que, aplicando propiedades elementales relativas a las medianas que

De forma análoga, aplicando el mismo teorema al punto , tenemos que

y como , con lo que De aquí, y las propiedades relativas a las medianas, se deduce fácilmente que el hexágono da lugar a dos triángulos de lados paralelos al original.

Por ora parte, es bien conocido que al trazar las tres medianas de un triángulo se forman seis triángulos con la misma área. Denotaremos por el ángulo que forman las medianas , por el ángulo que forman las medianas , y por el ángulo que forman las medianas . Entonces es fácil ahora determinar el área del hexágono dividiéndolo en seis triángulos con vértice común en el baricentro del triángulo original y calculando el área de cada uno de ellos. Conocemos los lados de estos triángulos y el seno de los ángulos que forman, ya que para cualquiera de los seis triángulos de la misma área en que queda divido el triángulo ABC al trazar las tres medianas, tenemos que

con lo que tenemos para el área de unos de estos seis triángulos que configuran el hexágono

Fácilmente, se puede demostrar que las áreas de los restantes cinco triángulos que conforman el hexágono son iguales, con lo que el área de dicho hexágono será

que es lo que queríamos demostrar.