Problema 486.- Sean dos triángulos ABC y DEF tales que AB es perpendicular a EF, CA es perpendicular a FD y BC es perpendicular a DE. Demostrar que los triángulos ABC y DEF son semejantes.

(XI Olimpiada de Yucatán, 1997).

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva)

Supongamos que el triángulo DEF es tal como indica el enunciado del problema, respecto del triángulo ABC. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer el triángulo DEF completamente interior al triángulo ABC, ya que una transformación homotética y una traslación adecuadas, mantienen la semejanza.

Sean A´, B´, C´ los pies de las perpendiculares ED, DF y EF sobre los lados BC, AC y AB, respectivamente. Entonces siendo , y , podemos considerar los cuadriláteros cíclicos DA´C B´, FB´A C´ y EC´B A´ , ya que cada uno de ellos posee dos ángulos rectos opuestos. Entonces, considerando, por ejemplo, el cuadrilátero DA´C B´, es inmediato que , con lo que entonces , ya que estos ángulos obviamente son suplementarios. El mismo razonamiento sirve para los otros dos ángulos. Así pues, los dos triángulos dados son semejantes por tener los tres ángulos iguales.

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