Ejemplo 4.- Construir un triángulo dado el perímetro 2p, un ángulo B y el radio r' del círculo inscrito.
Metodología y didáctica de la matemática elemental : para uso de los alumnos de Escuelas Normales y aspirantes al profesorado de 1a y 2a enseñanza / por J. Rey Pastor y P. Puig Adam Madrid [s. n.], 1933 (p.83-84)
Solución tomada de los autores
Según una propiedad conocida por Geometría, el segmento BA" comprendido entre un vértice B y el punto A" de contacto del círculo exinscrito interior al ángulo B con uno de sus lados es igual al semiperimetro p, en este caso conocido.Es decir, BA" = BC" = p.
Los datos del problema permiten, pues, construir el ángulo B, la circunferencia O' inscrita en él, de radio dado, r, y la exinscrita O'' tangente en A'' y C'' a sus lados. Con lo cual quedará determinado el lado AC del triángulo, que será tangente común a ambas circunferencias.
El lector completará fácilmente la discusión. ¿Existe siempre solución? Cuando hay dos tangentes interiores, ¿Hay en rigor dos soluciones?Para que el problema tenga solución, es necesario que las circunferencias (O') y (O'') sean exteriores, o como mucho, tangentes exteriores. Este último caso se da cuando O'O'' = r' + r'' es decir, IO'' - IO' = r' + r''. Expresando esta igualdad en términos de los datos del problema tenemos:
Deducimos entonces que la construcción será posible cuando
Llevando esta fórmula a Cabri podemos construir una figura robusta, es decir que permita al usuario sólo los valores de p, r' y B que corresponden a una construcción posible. Así, en la figura siguiente los posibles valores de r' se obtienen a partir de p y B.
