Problema 492.

Construir un triangle coneguts el perímetre 2p un angle B i el radi r del cercle inscrit.

Quan el problema té solució? Quantes solucions té?

Solució:

La construcció és de Puig Adam i Rey Pastor

L’àrea del triangle és:

.

Aleshores,                                        (1)

Aplicant el teorema del cosinus al triangle :

.

.

.

                     (2)

Substituint l’expressió (1) en l’expressió (2):

. Aïllant .

                                                 (3)

Considerem el sistema format per les expressions (1) (3)

. Notem que , .

Les solucions del sistema són les solucions de l’equació:

Les dues solucions del sistema seran les mateixes amb el canvi de lletres.

, on , .

Aquesta equació té solució si el discriminant és positiu o zero:

.

Amb Cabri:

Figura barroso492.fig

Applet created on 16/12/08 by Ricard Peiró with CabriJava