Problema 492.

Construir un triángulo conocidos el perímetro2p un ángulo B y el radio r del círculo inscrito.

¿Cuándo el problema tiene solución? ¿Cuántas soluciones tiene?

Solución de Ricard Peiró:

La construcción es de Puig Adam y Rey Pastor

El área del triángulo es:

.

Entonces,                                        (1)

Aplicando el teorema del coseno al triángulo :

.

.

.

                     (2)

Substituyendo la expresión (1) en la expresión (2):

. Despejando .

                                                 (3)

Consideremos el sistema formado por las expresiones (1) (3)

. Notemos que , .

Las soluciones del sistema son las soluciones de la ecuación:

Las dos soluciones del sistema serán las mismas con el cambio de letras.

, donde , .

Esta ecuación tiene solución si el discriminante es positivo o cero:

.

Con Cabri:

Figura barroso492.fig

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