Problema 496

En un triangle , la mitjana intersecta a la bisectriu interior en P. Siga Q el punt d’intersecció de i . Demostreu que el triangle és isòsceles.

Solució:

Siga M el punt mig del costat . Siga .

El punt P és la intersecció de tres cevianes . Aplicant el teorema de Ceva:

(1)

Aplicant la propietat de la bisectriu: (2)

Substituint l’expressió (2) en l’expressió (1) i simplificant:

(3)

Aplicant el teorema dels sinus al triangle :

(4)

Aplicant el teorema dels sinus al triangle :

(5)

Dividint les expressions (4) i (5): (6)

(7)

Aplicant el teorema dels sinus al triangle :

(8)

(9)

Transformant en sumes:

(10)

.

Aleshores, , per tant el triangle és isòsceles.