Problema 497.- Sea ABC un triángulo y G su circunferencia circunscrita. Sean C₀ el punto medio del arco AB, B₀ el punto medio del arco CA. Y A₀ el punto medio del arco BC. Demuestra que el incentro del triángulo ABC es el ortocentro del A₀B₀C₀.

XI Olimpiada de Yucatán. 1997.

Solución

En el problema nº 32 de esta revista se demostró que la bisectriz interna de un ángulo y la mediatriz del lado opuesto se cortan sobre la circunferencia circunscrita. También el problema nº 8 hace uso de esta propiedad. Por tanto, según ella, la mediatriz de AB y la bisectriz de C se encuentran en C₀. E igualmente con los otros lados.

Para demostrar que B₀B es una altura del triángulo A₀B₀C₀, calcularemos el valor de sus ángulos. Sean a, b y g los ángulos de ABC. Observando la figura tenemos:

<C₀B₀B = <C₀CB =; <BB₀A₀ = <BAA₀ = . De ambas <C₀B₀A₀ = .

Análogamente <B₀C₀A₀ = . Los ángulos <C₀B₀B y <B₀C₀A₀ suman = 90, por tanto B₀B es la altura desde B. c.q.d.