Problema 497. Sea ABC un triángulo y G su circunferencia circunscrita. Sean el punto medio del arco AB, el punto medio del arco CA, y el punto medio del arco BC. Demuestra que el incentro del triángulo ABC es el ortocentro del triángulo .

(XI Olimpiada de Yucatán, 1997)

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva)

Partiremos de varios hechos geométricos bien conocidos para todo triángulo ABC y de demostración sencilla:

- El incentro I de un triángulo es único

- El ortocentro H de un triángulo es único

- El ángulo que subtiende el lado BC desde el incentro es , y de forma análoga para los otros lados

- El ángulo que subtiende el lado BC desde el ortocentro es , y de forma análoga para los demás lados

- Cada bisectriz interior del triángulo corta al arco BC opuesto de la circunferencia circunscrita en su punto medio

Podemos observar que las bisectrices interiores del triángulo ABC (que se cortan en el incentro del mismo), son tres cevianas concurrentes en el triángulo . Por otra parte, es claro que , y , y análogamente para los demás ángulos. Por tanto, y como (debido al teorema del ángulo inscrito) , se tiene que , y análogamente para los demás ángulos y . Finalmente, debido a la unicidad de ortocentro de un triángulo, concluimos que el incentro I del triángulo ABC, coincide con el ortocentro H del triángulo .

---oooOooo---