Problema 499

En un triangle equilàter , una recta tangent a la circumferència inscrita talla a en el punt P i a en el punt Q.

Siga M el punt mig de . Demostreu que .

Solució de Ricard Peiró:

Suposem que el costat del triangle és 1.

.

Siga T el punt de tangència de la circumferència inscrita i la recta PQ.

Siga L el punt mig del costat , siga N el punt mig del costat .

Siga, .,

Aleshores, ,.

.

Anàlogament l’àrea del triangle és:

.

Aplicant el teorema del cosinus al triangle :

. Simplificant:

(1)

Aplicant (1):