Problema 501

Proveu o refuteu les següents proposicions:

a) En tot triangle , almenys un dels radis de les circumferències circumscrites és major o igual que una de les seues altures i recíprocament.

b) En tot triangle , es pot escollir almenys, dos radis de les circumferències exinscrites el producte dels quals siga major o igual que el producte de dos de les seues altures .

Solució:

L’àrea d’un triangle és:

.

a1)

Suposem que .

Com que aleshores, , per tant, .

Anàlogament, .

Com que .

i com que ,

. Simplificant:

.

a2)

Suposem que .

Com que , aleshores, .

Anàlogament, .

Com que .

i com que ,

. Simplificant:

.

b)

Suposem que Suposem que , aleshores .

.

Suposem que .

Aleshores, .

.

.

Aleshores,

Com que .

Aleshores, .

(1)

.

(2)

Amb les expressions (1) i (2) arribem a un absurd, per tant, .