Problema 501

Probar o refutar las siguientes proposiciones:

a) En todo triángulo , al menos un de los radios de las circunferencias circumscritas es mayor o igual que una de las y recíprocamente.

b) En todo triángulo , se puede escogerr al menos, dos radios de las circunferencias exinscritas cuyo producto sea mayor o igual que el producto de dos de sus alturas .

Solución:

El área de un triángulo es:

.

a1)

Supongamos que .

Como entonces, , por tanto, .

Análogamente, .

Como .

y como ,

. Simplificando:

.

a2)

Supongamos que .

Como , entonces, .

Análogamente, .

Como .

y como ,

. Simplificando:

.

b)

Supongamos que Supongamos que , entonces .

.

Supongamos que .

Entonces, .

.

.

Entonces,

Como .

Entonces, .

(1)

.

(2)

Con las expresiones (1) y (2) llegamos a un absurdo, por tanto, .