Propuesto por Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia.

Problema 502.- En un triángulo ABC  sean B₁ y C₁ los puntos de intersección de las bisectrices interiores de los ángulos ABC y BCA con AC, AB respectivamente.

Sea V la intersección de B₁C₁ con BC. Sea W la intersección de las bisectrices de los ángulos VC₁B y VB₁C.

Demostrar que A, V, W están alineados.

Suppa, E. (2009): Comunicación personal.

Solución

En un triángulo cualquiera dos bisectrices exteriores y la interior del tercer ángulo se cortan en uno de los excentros: centro de una circunferencia tangente exterior al triángulo. Por las propiedades de las bisectrices de un triángulo, la recta que une los pies de dos de ellas corta al lado opuesto en el pie de la bisectriz exterior correspondiente. Así pues, AV es la bisectriz exterior de A y la cuaterna (BCA₁V) es armónica.

Tenemos que la bisectriz de VC₁B es bisectriz interior del ángulo AC₁B₁; la bisectriz de VB₁C es bisectriz exterior del ángulo AB₁C₁ y AV la bisectriz exterior de B₁AC_1. Por tanto, estas bisectrices se cortan en W, uno de los excentros del triángulo AC₁ B₁. c.q.d.