Problema 503.- ABC un triángulo acutángulo, y AH_a, la altura desde A a BC.(Similares construcciones se harían para los vértices B y C).

Sean los puntos B_a y C_a, tomados desde C y B interiormente sobre los lados AC y AB, respectivamente, tales que CH_a=CB_a, y BH_a=BC_a.

Construimos los puntos D_a y E_a, sobre BC, tales que los triángulos CB_aD_a, y BC_aE_a sean rectángulos en B_a y C_a, respectivamente.

Si definimos los puntos F_a=B_aD_a∩AB, y  G_a= C_aE_a∩AC, y similares puntos para los otros vértices B y C.

 Probar que:

a) B_aD_a=C_aE_a=AH_a (vértice A); C_bE_b=A_bD_b=BH_b (vértice B); A_cE_c=B_cD_c=CH_c (vértice C).

b) Triángulos AB_aC_a y AF_aG_a, son semejantes, y hallar los elementos de la semejanza.

c) Si O_aP_aQ_a es el triángulos formado por O_a=B_aD_a∩C_aE_a, P_a=B_aD_a∩AH_a, Q_a=C_aE_a ∩AH_a, es semejante al triángulo ABC.

d) Los puntos O_a=B_aD_a y C_aE_a, similar para O_b, y O_c, son los ortocentros de cada uno de los triángulos AF_aG_a, BF_bG_b y CF_cG_c, respectivamente.

e) ¿Qué relación geométrica tiene el triángulo O_aO_bO_c con el triángulo ABC? Es decir, ¿son semejantes?

Romero, J.B. (2009): Comunicación personal.

Solución

Lo primero es hacer un dibujo que pueda representar con claridad la situación.

a) B_aD_a = CB_a· tg C= (por construcción)=CH_a· tg C= b·cos C· tg C= b·sen C= c·sen B= AH_a .

C_aE_a = BE_a· sen B.Por otra parte BC_a = (por construcción) = BH_a = c·cos B. Y también BC_a = BE_a· cos B de donde BE_a =c y entonces C_aE_a = BE_a· sen B= c· sen B.

Permutando las letras a, b y c se obtienen las relaciones para los otros vértices.

b) Los triángulos AB_aC_a y AF_aG_a comparten el ángulo A. Veamos si los lados correspondientes son proporcionales.

AC_a= AG_a· cos A observando el triángulo AC_aG_a .

AB_a= AF_a· cos A ahora en el triángulo AF_aB_a

Resulta pues que sus lados son proporcionales, y el factor de proporcionalidad (razón de semejanza) es cos A.

E igualmente con los otros triángulos obtenidos por permutaciones de las letras.

c) Los lados de este triángulo están tomados sobre segmentos perpendiculares a los lados del triángulo inicial, en consecuencia, son semejantes.

d) También resulta de inmediato, pues O_a está situado sobre dos alturas del triángulo AF_aG_a.

e) El dibujo indica que no son semejantes.