Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid.

Problema 509.-Sea ABC un triángulo, y sea M un punto interior, y Da, Eb y Fc los pies de las cevianas que pasan por M, y cortan a los lados BC, AC y AB, respectivamente.

Sean los puntos Na = CFc ·DaEb, y Pa=BEb·FcDa prolongamos APa y ANa, hasta que corten a BC en Ha y Ga, respectivamente. Probar que: GaC/DaGa = CDa/DaB + 1.

S. Dattatreya y R. Dattatreya (2000) An interesting ratio result for triangles.

Solución.-

Con la transversal CF_c en el triángulo BAD_a y las cevianas concurrentes en P_a se genera una cuaterna armónica: (BD_aH_aC).

Si considero ahora el triángulo CAD_a y la transversal BE_b y las cevianas concurrentes en N_a tenemos otra cuaterna armónica: (CD_aG_aB) (que se obtiene cambiando B por C y H_a por G_a).

De (BD_aH_aC)= – 1 obtenemos , y de (CD_aG_aB) = – 1, .

Con esto , como se pretendía demostrar.