Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva

Problema 532

Sea ABC un triángulo con  y M el punto medio de AB. Demostrar que existe un punto P del segmento CM de modo que las bisectrices interiores de los ángulos  y se cortan en un punto Q de CM.

Nota: El propósito de este problema de existencia surge al estudiar el problema 57 del excelente libro CIEN PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS: Combinatoria, Álgebra, Geometría; de D. F. Bellot Rosado y Mª. Asunción López Chamorro, (Instituto de Ciencias de la Educación, Universidad de Valladolid, 1992), con enunciado literal:

Problema 57: “Sea ABC un triángulo () con el ángulo  agudo dado, y M el punto medio de AB. Se elige el punto P del segmento CM de modo que las bisectrices de los ángulos  y se corten en un punto Q de CM. Hallar los ángulos  y ”.

(Olimpiada de Bulgaria, 1985; G. Ganchev)

            En la resolución de este problema 57, en dicho libro aparecen las soluciones  correctas , y , pero está incompleto ya que no se demuestra previamente que tal punto P exista. Por tanto, básicamente, este es el objeto de nuestro problema