Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid

Dedicado a Jack Garfunkel

Problema 533.

Sea ABC un triángulo acutángulo de lados a,b y c, p, R, r, semiperímetro, radio del círculo cirunscrito e inscrito, al triángulo, respectivamente, ma,mb,mc las medianas, ha,hb, hc, las alturas correspondientes a los lados a,b y c, respectivamente, probar que :

i)  p>=abc/2R²,

ii) 1/a+ 1/b+1/c>=3^1/2/R ,

iii) (1/m_a)+(1/m_b)+(1/m_c)>=(2/R),

iv) (a/m_a)+(b/m_b)+(c/m_c)>2(3^1/2)

v)   h_am_a+h_bm_b+h_cm_c<=p²,

alcanzado la igualdad en todas estas desigualdades si el triángulo ABC es equilátero.

Garfunkel, J.(1967):  Exploring Geometric Maxima and Minima,  Mathematics Teacher, February, 1969, N.2, pp.85-90