Problema 519.

Una circunferencia que pasa por el vértice A de un triángulo ABC, interseca el lado AB en P, y el  lado AC en Q . Tomamos dos puntos, M sobre PB y N sobre QC tales  que PM:MB = QN:NC. Demostrar que las circunferencias circunscritas a los triángulos APQ, AMN, ABC concurren en un punto X (con X distinto de A).

(Nota del proponente: La recta PQ no debe ser paralela a BC.)

Solución de Nicola Tancredi ed insegno Matematica e Fisica nel liceo Scientifico "G. Galilei" di Sapri (Sa), Italia. 

LEMMA 1

Dato un triangolo ABC posto in piano cartesiano con il vertice A nell’origine degli assi il vertice B sull’asse x ed il vertice C in un generico punto del piano cartesiano. L’equazione della circonferenza circoscritta al triangolo avrà equazione

Dove b e c sono le lunghezze dei due lati del triangolo con vertice in A ed a è l’angolo compreso tra i due lati (). Se

si avrà semplicemente

DIMOSTRAZIONE

Passando per l’origine degli assi il termine noto è nullo.

Le coordinate del centro si ottengono mettendo per esempio a sistema gli assi relativi ai lati AB e AC.

Ne segue che l’ascissa del centro è ovviamente c/2 essendo AB sull’asse delle ascisse mentre l’ordinata sarà

 dopo semplici calcoli. Il caso  è facilmente verificabile.

LEMMA 2

Dato un segmento AB di lunghezza c .  Sia P un punto di AB tale che AP = r e sia M un punto che divide PB in modo tale   . Allora il segmento

DIMOSTRAZIONE

DIMOSTRAZIONE DEL PROBLEMA

Dal LEMMA 2 definito    si avrà

 e  

dove  e

Dal LEMMA 1 l’equazione della circonferenza passante per A, M ed N sarà

                 (1)

Tale equazione è proprio il fascio delle circonferenze generate dalle circonferenze passanti per ABC e per APQ di parametro r perciò passerà per i punti  comuni alle circonferenze generatrici.

Infatti sempre dal LEMMA 1 l’equazione della circonferenza per ABC sarà

          (2)

Mentre quella passante per  APQ sarà

        (3)

Moltiplicando per r la (2) , sommando l’ equazioni così ottenuta con la (3) e dividendo per (1+r) si ottiene l’equazione (1) , che perciò rappresenta il fascio di circonferenze generato dalla (2) e dalla (3).

C.V.D.

OSSERVAZIONE

Se il triangolo è rettangolo isoscele cioè a = 90° e b = c = l le equazione delle circonferenze  (1) e (2) e (3) saranno del tipo . Le circonferenze passanti per APQ e per AMN sono tangenti internamente alla circonferenza passante per ABC nel punto A che  sarà l’unico in comune delle tre circonferenze. La retta tangente ha equazione y = -x   .