Problema 520

Entre tots els triangles rectangle amb hipotenusa fixa a, determineu aquell que l’angle agut format per les mitjanes que es formen a partir dels angles aguts del triangle siga màxim.

Solució de Ricard Peiró i Estruch.

Siga el triangle rectangle , , tal que  fix amb les següents coordenades cartesianes:

, , , .

Les coordenades dels punts mig dels catets són:

, .

L’angle agut que formen les mitjanes  és igual a l’angle que formen els vectors .

Determinem les components dels vectors:

.

Utilitzem el producte escalar dels vectors per calcular el cosinus de l’angle que formen:

.

El valor màxim de l’angle  s’assoleix per al valor màxim de la funció , .

 si , .

, aleshores,  és un mínim. En aquest cas no existiria el triangle.

, aleshores,  és un màxim. En aquest cas el triangle és rectangle i isòsceles.