Problema 520

Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva

De entre todos los triángulos rectángulos con hipotenusa fija a, determinar aquel tal que el ángulo agudo formado por las medianas que parten de los vértices  correspondientes a los ángulos agudos del mismo, sea máximo.

Vicario, C. (2009) Comunicación personal.

.

Solución de Ricard Peiró i Estruch.

Siga el triángulo rectángulo , , tal que  fijo con las siguientes coordenadas cartesianas:

, , , .

Las coordenadas de los puntos medios de los catetos son:

, .

El ángulo agudo que formen les medianas  es igual al ángulo que forman los vectores .

Determinemos las componentes de los vectores:

.

Utilicemos el producto escalar de los vectores para calcular el coseno del ángulo que forman:

.

El valor máximo del ángulo  se alcanza para al valor máximo de la función , .

 si , .

, entonces,  es un mínimo. En este caso no existiría el triángulo.

, entonces,  es un máximo. En este caso el triángulo es rectángulo y isósceles.