Problema 525

Propuesto por Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100 Teramo, Italia

Sea H el ortocentro del triángulo ABC. Demostrar que las circunferencias de diámetros CH y AB son ortogonales.

Alasia, C. (1900): La recente geometria del triangolo, problema 195, pag. 293

Solución de Nicola Tancredi profesor de Matemática y Física en el liceo Scientifico "G. Galilei" di Sapri (Sa), Italia

Esquina doblada: Fig. 1525 fig1.pngCome è noto dalla geometria euclidea dato un triangolo rettangolo la circonferenza che ha come diametro l’ipotenusa ( il centro coincidente con il punto medio dell’ipotenusa stessa ) circoscrive il triangolo.

Pertanto dato un triangolo ABC

*    La circonferenza che ha come diametro il lato AB deve passare per i piedi delle altezze condotte dai vertici A e da B e indicati nella Fig. 1 con KA e KB  essendo retti gli angoli AKAB e AKBB.

*    525 fig2.pngLa circonferenza di diametro CH, con H ortocentro della circonferenza ABC,  dovrà passare per KA e KB essendo retti gli angoli CKAH e CKBH.

Esquina doblada: Fig. 2

Le due circonferenze C1 e C2 aventi per diametri AB e CH si intersecano nei punti KA e KB  piedi delle altezze del triangolo ABC condotte da A e da B. (Fig. 2)

Detti M e N i centri delle due circonferenze C1 e C2 per dimostrare l’ortogonalità occorre dimostrare che i gli angoli MKBN e MKAN sono retti.

Osservando la Fig. 3 abbiamo

Ø      L’angolo KCCA e KCAC sono complementari essendo il triangolo AKCC rettangolo.

Ø      Esquina doblada: Fig. 3525 fig3.pngL’angolo KCCA è congruente con l’angolo NKBC essendo angoli alla base del triangolo isoscele KBNC di base KBC .

Ø      L’angolo KCAC è congruente con l’angolo MKBA essendo angoli alla base del triangolo isoscele KBMA di base KBA .

Ø      L’angolo MKBN è retto essendo supplementare dell’angolo retto ottenuto dalla somma di MKBA con NKBC .

Analogamente si dimostra che l’angolo MKAN è retto.

C.V.D.