Problema 525.- (Propuesto por Ercole Suppa, profesor titular de matemáticas y física del Liceo Scientifico “A. Einstein”, 64100, Terano, Italia).

Sea H el ortocentro del triángulo ABC. Demostrar que las circunferencias de diámetros CH y AB son ortogonales.

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva)

A lo largo de la resolución del problema utilizaremos la notación habitual en la geometría del triángulo. Supondremos que el triángulo dado es acutángulo. Sea H el ortocentro del triángulo ABC, O su circuncentro y  el centro de la circunferencia de los nueve puntos del triángulo. Sea D el punto medio del segmento CH y E el punto medio del lado AB.

Por otra parte, sabemos por el teorema de Brianchon-Poncelet-Feuerbach (brevemente teorema BPF) que la circunferencia de los nueve puntos (entre otras cosas) tiene su centro  en el punto medio del segmento OH,  como radio la mitad del radio de la circunferencia que circunscribe al triángulo ABC y pasa por los pies de las alturas, los puntos medios de los lados y los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices del triángulo.

Puesto que dos circunferencias son ortogonales si sus radios son los catetos de un triángulo rectángulo que tiene como hipotenusa la suma de sus radios, la proposición quedará demostrada si probamos que

Ahora es claro, utilizando relaciones elementales entre ángulos y el teorema de los senos generalizado que , y en consecuencia, tenemos

lo que concluye la demostración, ya que obviamente, según el famoso teorema BPF ya mencionado, .

---oooOooo---