Problema 526

Sean PA y QA dos segmentos isogonales respecto al ángulo A. Demostrar que las cuatro proyecciones de P y Q sobre AB y AC pertenecen a una circunferencia.

Alasia, C. (1900), La recente geometria del triangolo, problema 154, pag. 289

Costruzione geometrica

Solución: Gennaro Rispoli, profesor de matemáticas en el Liceo Scientifico  Sperimentale annesso al Liceo Ginnasio "T.L. Caro", 84087 Sarno  (Salerno), Italia

Dato l’angolo ÐCAB, consideriamo in primis:

• la bisettrice dell’ angolo ÐA, sulla quale prendiamo il punto W;
• una semiretta per A, sulla quale fissiamo un punto N;
• la retta simmetrica della semiretta AN rispetto alla bisettrice dell’angolo ÐA, sulla quale scegliamo il punto M; così le linee AM ed AN sono isogonali.

Consideriamo inoltre:

• dal punto M, le perpendicolari ai lati CA e AB avendo rispettivamente le proiezioni P e Q;
• dal punto  N, le perpendicolari ai lati CA e AB avendo rispettivamente le proiezioni S ed R.

Dimostrazione

I triangoli AMQ e ANS sono simili. Donde:

MQ : NS = AQ : AS = AM : AN.

I triangoli AMP e ANR sono simili. Donde:

AM : AN = AP : AR = MP : RN.

Da tali relazioni abbiamo  AQ : AS = AP : AR ovvero AQ AR = AS AP, donde P, Q, R ed S sono situati su una circonferenza, il cui centro è dato dal punto medio O del segmento MN.

Altshiller-Court, N., An Introduction to the Modern Geometry of the triangle and the Circle, Dover 2007, New York (Chapter X, … Isogonal lines, pagg. 267-269)