Problena 527

Encontrar un punto en la base de un triángulo dado de forma que desde él se trazan perpendiculares a los lados, la línea que una sus extremos sea paralela a la base. Resolver (1) trigonométricamente, (2) geométricamente.

Carroll, L. (2005): Problemas de almohada. Nívola. [Pillow Problems] (traducción de Guillén Rojas, y Jesús Fernández)

"Mi motivo para publicar estos problemas, con sus soluciones elaboradas mentalmente, no es ciertamente un deseo de mostrar el poder del cálculo mental. El mío (...) no es nada del otro mundo..." ( De la Introducción de Lewis Carroll)

Solución del director

(1) trigonométricamente

Supongamos que P cumple lo establecido en el enunciado.

El cuadrilátero PB*AC* es inscriptible.

Es <PAC*=<PB*C*=90-B.

Es pues, <APC=180-(90-B)-C=2B+A-90.

Así por la ley de los senos aplicada a APC, es:

(2) geométricamente

Consideremos las perpendiculares a AC por C y a AB por B.

Se cortarán en U. AU es un diámetro de la circunferencia circunscrita a ABC.

La recta AU corta a BC en el punto pedido.

Ricardo Barroso Campos. Didáctica de las Matemáticas.

Universidad de Sevilla.