Problema 527:

Determineu un punt en la base d’un triangle donat de forma que des d’ell es tracen perpendiculars als costats, la línia que uneix els extrems siga paral·lela a la base.

1.-Solució trigonomètrica.

2.- Solució geomètrica.

Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia)

1.- Solució trigonomètrica.

Siga el triangle :

Siga M un punt del costat . Siguen P, Q les projeccions de P i Q, sobre els costats  i , respectivament, tal que  és paral·lel a .

Siga , , .

Els triangles ,  són semblants. Aplicant el teorema de Tales:

                                                       (1)

Aplicant raons trigonomètriques als triangles rectangles , , respectivament:

                                                 (2)

                                           (3)

Dividint les expressions (2), (3):

                           (4)

Substituint l’expressió (1) en l’expressió (4):

.

Aplicant el teorema del cosinus al triangle :

                               (5)

Resolent l’equació en la incògnita x:

.

2.- Solució geomètrica.

Suposem resolt el problema siga M un punt del costat  i siguen P, Q les projeccions de P i Q, sobre els costats  i , respectivament, tal que  és paral·lel a .

Notem que . A més a més, el quadrilàter APMQ és inscriptible en una circumferència.

Mètode de construcció.

Construïm el quadrilàter AP’M’Q’ tal que  és paral·lel a  tal que  perpendicular a  i , respectivament.

Aquest quadrilàter AP’Q’M’ és homotètic al quadrilàter APMQ.

a)      Dibuixeu el segment  paral·lel a .

b)      Dibuixeu sobre el segment  l’arc capaç de .

c)      Dibuixeu la recta r perpendicular al costat  que passa per P’.

d)      Feu la intersecció M’ de la recta r i l’art capaç.

e)      Dibuixeu la recta s que passa pels punts A, M’

f)        Feu la intersecció M de la recta s i el costat .

Aquest és el punt que cerquem.