Problema 527:

Determineu un punt en la base d’un triángulo donat de forma que des d’ell es tracen perpencdiculars als lados, la línia que uneix els extrems sea paraleloa a la base.

1.-Solució trigonomètrica.

2.- Solució geomètrica.

Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES "Abastos" (Valencia)

1.- Solució trigonomètrica.

Sea el triángulo :

Sea M un punto del lado . Sean P, Q les proyecciones de P y Q, sobre los lados  y , respectivamente, tal que  es paralelo a .

Sea , , .

Los triángulos ,  son semejantes. Aplicando el teorema de Tales:

                                                       (1)

Aplicando razones trigonométricas a los triángulos rectángulos , , respectivamente:

                                                 (2)

                                           (3)

Dividiendo las expresiones (2), (3):

                           (4)

Substituyendo la expresión (1) en la expresión (4):

.

Aplicando el teorema del coseno al triángulo :

                               (5)

Resolviendo la ecuación en la incógnita x:

.

2.- Solución geométrica.

Supongamos resuelto el problema sea M un punto del lado  y sean P, Q las proyecciones de P y Q, sobre los lados  i , respectivamente, tal que  es paralelo a .

Notemos que . Además, el cuadrilátero APMQ está inscrito en una circunferencia.

Método de construcción.

Construimos el cuadrilátero AP’M’Q’ tal que  es paralelo a  y tal que  perpendicular a  y , respectivamente.

Este cuadrilátero AP’Q’M’ es homotético al cuadrilátero APMQ.

a)      Dibujar el segmento  paralelo a .

b)      Dibujar sobre el segmento  el arco capaz de .

c)      Dibujar la recta r perpendicular al lado  que pasa por P’.

d)      Determinar la intersección M’ de la recta r y el arco capaz.

e)      Dibujar la recta s que pasa por los puntos A, M’

f)        Determinar la intersección M de la recta s y el lado .

Este es el punto que buscamos.