Problena 527

Encontrar un punto en la base de un triángulo dado de forma que desde él se trazan perpendiculares a los lados, la línea que una sus extremos sea paralela a la base. Resolver (1) trigonométricamente, (2) geométricamente.

Carroll, L. (2005): Problemas de almohada. Nívola. [Pillow Problems] (traducción de Guillén Rojas, y Jesús Fernández)

Solución de Nicola Tancredi profesor de Matemática y Física en el liceo Scientifico "G. Galilei" di Sapri (Sa), Italia

527 fig1.pngDato il triangolo ABC, consideriamo AB come base e siano gli angoli adiacenti alla base acuti (per fissare le idee sia B > A), determiniamo il punto P sulla base AB del triangolo con riga e compasso. (Vedi Fig.1)

Tracciamo l’altezza CH che per ipotesi cadrà sul lato AB. Tracciamo una circonferenza passante per C e che intersechi i lati CA , CB e l’altezza CH nei punti che chiameremo E , F e G rispettivamente. Con apertura del compasso FG puntiamo in E ed individuamo sulla circonferenza il punto L all’interno del triangolo ABC. Tracciamo la retta passante per C e per L che intersecherà la base AB nel punto P cercato.

Più semplicemente basta scegliere il punto P su AB in modo tale che l’angolo ACP sia il complementare dell’angolo acuto nel vertice B del triangolo ABC (con B>A).

 

Ora dimostriamo che il punto P verifica il teorema , cioè le sue proiezioni ortogonali sui lati AC e BC individuano una retta parallela alla base AB.

Consideriamo il punto medio M di CP e tracciamo la circonferenza di diametro CP. Tale circonferenza passerà per i punti vedi Fig. 2

*       527 fig2.pngIl piede dell’altezza H , essendo PHC un angolo retto

*       La proiezione ortogonale di P sul lato AC indicata con Pb , essendo PPbC un angolo retto

*       La proiezione ortogonale di P sul lato AB indicata con Pa , essendo PPaC un angolo retto

Osserviamo che

Ø     L’angolo HBC è complementare dell’angolo BCH essendo CH altezza.

Ø     L’angolo ACP è congruente all’angolo BCH per costruzione.

Ø     L’angolo PbPC è congruente all’angolo PbPaC perché angoli alla circonferenza che insistono sulla stessa corda CPb.

Ø        L’angolo PbPC è il complementare di PbCP essendo l’angolo PPbP retto.

Ø        L’angolo PbPC è congruente ad HBC essendo complementari di angoli congruenti.

Ne consegue che l’angolo PbPaC è congruente all’angolo HBC e pertanto la retta PbPa è parallela alla base AB.

 

 

C.V.D.