D’entre tots els triangle de perímetre fix, determineu aquell que el girar al voltant d’un dels seus costats engendra una figura de revolució de volum màxim.

Solució Ricard Peiró:

D’entre tots els triangles de perímetre constant i base constant el d’àrea màxima és el triangle isòsceles.

Siga a el costat desigual del triangle isòsceles.

Siga p el perímetre del triangle isòsceles.

Cadascun dels altres dos costat mesuren: .

Aplicant el teorema de Pitàgores, l’altura del triangle isòsceles sobre el costat desigual és:

.

Vegem el triangle isòsceles de perímetre constant p i base a aquell que al girar al voltant del costat a dona el volum màxim.

El volum a maximitzar és:

.

.

.

Aquesta funció és una paràbola convexa el màxim s’assoleix en el vèrtex:

.

En aquest cas, , els costats iguals mesuren cadascun, i el volum màxim és:

.