Problena 529

Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva

De entre todos los triángulos de perímetro fijo, determinar aquel que al girar alrededor de uno de sus lados engendra una figura de revolución de volumen máximo.

Vicario, V. (2009). Comunicación personal

 Solución de Nicola Tancredi profesor de Matemática y Física en el liceo Scientifico "G. Galilei" di Sapri (Sa), Italia.

Lemma 

Tra tutti i triangoli per i quali sono assegnati un lato c e la somma a + b degli altri due lati quello che genera un solido di rotazione attorno a c di volume massimo è isoscele .

Dimostrazione del lemma

Detta h l’altezza relativa al lato c. Per il teorema di Guldino il volume del solido di rotazione attorno al alto c sarà dato da

              (1)

Dove   è la distanza del baricentro dal lato c ed A è l’area del triangolo. Il volume sarà massimo quando l’area A è massima. Infatti in tal caso h è massima e anche il prodotto  è massimo. Come è noto tra tutti i triangoli per i quali sono assegnati un lato c e la somma a + b degli altri due lati quello che ha area massima è isoscele con a = b. ( Vedi per esempio “Che cos’è la matematica” di  R. Courant , H. Robbins )

C.V.D.

Questo lemma ci assicura che se esistono soluzioni dell’analogo Teorema relativo ad un generico triangolo (Problema 529) queste vanno ricercate tra i triangoli isosceli.

DIMOSTRAZIONE   DEL  TEOREMA

Dato un triangolo isoscele di perimetro 2p , base c , altezza h e lati obliqui a e b. Avremo   da cui

         (2)

Per il teorema di Pitagora    che uguagliata con la )

     (3)

Dalla relazione  (3) si ottiene il seguente vincolo per la base del triangolo   .

Applicando il teorema di Guldino (1)  si ha

La funzione volume è una parabola nella variabile c che ha il massimo (vertice) quando  perciò i lati obliqui avranno lunghezza  e l’angolo alla base sarà

C.V.D.